Родился 2 февраля 1966 года в городе Челябинске в семье потомственных металлургов. После окончания школы № 61 служил в армии. С 1986 года начал работать водителем на автобазе № 1 Металлургического района и одновременно учился в ЧГИФК. По окончании института работал тренером во Дворце спорта ЧМС. Мастер спорта по тяжелой атлетике.
В 2004 году закончил Уральскую академию государственной службы по специальности «Государственное и муниципальное управление».
В 1998 Андрей Барышев создал общественный фонд «СОЦГОРОД», который в 2011 году перерос в областное общественное движение, объединив сотни единомышленников и неравнодушных людей, и став реальной общественной силой. Под руководством А. Барышева работа Фонда получила признание Международной благотворительной организации «Благовест». Трижды в 2011, 2012 и в 2016 годах «СОЦГОРОД» становился победителем областного конкурса социальных достижений «Меняющие мир».
В 2006 году Андрей Барышев удостоен награды «Ювента» за личный вклад в реализацию молодежной политики г. Челябинска.
В 2007 году награжден медалью «Национальное достояние» Международного благотворительного фонда «Меценаты столетия» в номинации «За благородство помыслов и дел».
В 2008 году за вклад в деятельность по профилактике и борьбе с наркоманией ему вручена награда «Золотой орел».
В 2009 году награжден Почетной грамотой Губернатора Челябинской области
В 2014 году получил Благодарность Законодательного Собрания Челябинской области «За значительный вклад в развитие законотворческой деятельности»